Lumière sur: le théorème d'Al-Kashi

Niveau 1ère S.
Notions nécessaires pour tout comprendre:
Géométrie générale du triangle
Pythagore (niveau 4éme)
Trigonométrie (niveau 3éme)
Produit scalaire (niveau 1èreS)

Le Théorème d'Al-Kashi.

Appelé aussi Loi des cosinus ce théorème fut "créé" par le mathématicien perse Al-Kashi. Il s'agît, en fait, de la généralisation du théorème de Pythagore à tous les rectangles.

A)Origine.

Al-Kashi est un savant perse, à la fois mathématicien, astronome qui vécut de 1380, il naquît en Perse; actuelle Iran, jusqu'en

1429 à Samarcande en Ouzbékistan. Connu comme l'un des derniers grands hommes des sciences arabes, Al-Kashi persévéra aussi bien en astronomie qu'en mathématique: ces observations sur une éclipse qui se passa en 1409 à Samarcande donna plusieurs livres sur l'astronomie. D'un caractère plutôt hautain et peu raffiné, il n'en était pas moins l'un des hommes les plus importants de la médersa, l'école des sciences de Samarkand avec Oulough Beg et Qadi-zadeh Roumi, deux autres scientifiques. Il travaillait avec plus de soixante autres scientifiques pour sans cesse améliorer les mathématiques, d'ailleurs ils sortirent le livre des Tables Sultaniennes. Il calcula les 15 premières décimales du nombre pi et élabora le théorème d'Al-Kashi après avoir étudié les mathématiques antiques, en particulier Pythagore.

B)Explication du théorème et démonstration.

Ce théorème est la généralisation du théorème de Pythagore, c'est-à-dire que l'on peut calculer dans un triangle, dans le même esprit que son ancêtre, le côté le plus grand avec une relation utilisant de la trigonométrie.

1)Énoncé générale.

Dans un triangle ABC, de côté a [BC], b [AC], et c [AB], on cherche à définir la longueur de c, pour cela nous allons utiliser la relation c² = a² + b² - 2abcCosy où y est l'angle formé par les côtés a et b.

Représentation géométrique:

Nous pouvons aussi, grâce à cette relation, déterminer plusieurs éléments qui pourraient être inconnu dans ce triangle; c'est-à-dire l'angle y, l'une des longueurs a ou b....

Par exemple pour calculer l'angle, nous pouvons faire le calcul algébrique suivant:

Si c² = a² + b² - 2abCosy, alors y = ArcCos (a²+b²-c² / 2ab) et ainsi de suite....

2)Démonstration du théorème d'Al-Kashi.

a)Démonstration avec le théorème de Pythagore.

[Pour rester dans l'esprit de l'époque nous allons faire la démonstration à partir du théorème de Pythagore, et en utilisant de la trigonométrie]

Prenons le triangle ci-dessous:

On a pris un triangle quelconque, et on a tracé sa hauteur de manière à le diviser en deux sous-triangles rectangles.

Prenons le triangle de droite: nous avons a en tant qu'hypothénuse. Le côté adjacent à l'angle Y est égal à acosY. Le côté opposé est quant à lui égal à asinY.

Un fois défini cela, passons dans le triangle d'hypoténuse c. Nous possédons le côté asinY, et le second côté adjacent à l'angle droit est égal à, par déduction, b - acosy.

Ce qui nous donne, pour calculer c, la relation:

c² = (aSiny)² + (b-aCosy)².

Après développement:

c² = a²Siny² + b² - 2abCosy + a²Cosy²

c² = a² (Siny²+Cosy²) + b² -2abCosy

Sachant que Siny² + Cosy² = 1 et ceux pour n'importe quel valeur de y.

Ce qui donne après simplification:

c² = a² + b² - 2abCosy.

b)Démonstration par le découpage d'aires.

Prenons le triangle, de côté a, b et c. On cherche à calculer c. Traçons les carrés des côtés a et b, c'est-à-dire a² et b². Ensuite on trace les triangle de côté a et b, conséquence de la construction des carrés a² et b², on obtient deux triangles isométriques, qui forme un parallélogramme de côté a et b, et de diagonale c, dont l'aire est égale à ab|cosy|. Si l'on retire les triangles isométriques au triangle originel, on obtient une figure de surface a² + b². Ensuite on revient au triangle de côté abc, et on trace c². Ensuite on trace le parallélogramme au côté b, d'aire ab|cosy|, de manière à obtenir un triangle qui a comme côté, l'un des côtés du carré c², et l'un des côtés a du parallélogramme. Par construction obtient un triangle abc. Ensuite on procède à la même construction du côté a, c'est-à-dire que l'on forme le parallélogramme d'aire ab|cosy|, et un triangle qui a comme côté l'un des côtés b du parallélogramme, et l'un des côtés c du carré c². Ensuite on retire les triangles isométriques au triangle de côté abc. On reste donc avec une figure d'aire c² + 2ab|cosy|. Étant donné que l'on obtient toujours la même surface, car on a retiré deux fois la même surface [les trois triangles isométriques], on obtient toujours la même surface, c'est-à-dire que l'on peut affirmer l'égalité, a² + b² = c² +2ab|cosy|, donc a² + b² - 2ab|cosy| = c².

c)Par Produit scalaire.

Reprenons le triangle ci-dessous.

Par produit scalaire, on sait que:

Ainsi on prouve le théorème d'Al-Kashi par trois façons, bien sûr, il en existe d'autres!

Al-Kashi a réussi l'exploit de généraliser le théorème de Pythagore dans tous les triangles, et en plus il a offert un outil trigonométrique aux mathématiques modernes. Encore utilisé actuellement, ce théorème fut l'un des derniers grands théorèmes des sciences arabes, une sorte de digne testament de cette science qui se voulait comme "la renaissance des sciences antiques", une révolution des anciennes sciences. C'est bien ce théorème qui affiche le plus la soif des sciences arabes à propos des modèles antiques, car il remet au goût du jour, un théorème de plus de 1500 ans.