Zoom sur le théoréme de Rolle.
Niveau: 1éreS (ou ES spécialité math) pour l'idée, 1ére année de sup' pour les preuves.
1]Histoire
Rolle est un brillant mathématicien du XVIIéme siècle: il fut un brillant calculateur et résolut notamment le problème d'Ozanam « Trouver quatre nombres tels que la différence de deux quelconques soit un carré et que la somme de deux quelconques des trois premiers soit encore un carré. ». Il sortit d'ailleurs quelques livres sur l'Algébre, dont l'un traite du théorème de Rolle, vu en 1ére année de supérieur, mais instinctivement compréhensible par des étudiants ayant vu la dérivation et ses applications à l'étude des fonctions.
2]Théorème de Rolle
Énoncé du théorème:
Soit [a,b] un intervalle. On considère une fonction f continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, tel que f(a) = f(b).
Alors il existe c € ]a,b[ tel que f'(c) = 0.
Il faut savoir que la notion de dérivée, telle qu'elle est connue maintenant, c'est-à-dire comme étant la limite suivante:
lim f(x) - f(a)
x->a x - a
permet d'interpréter le résultat en terme géométrique.
Graphe:
On peut interpréter ce résultat comme étant la valeur de c comprise entre a et b tel que la tangente en ce point soit horizontale.
Ce résultat se saisit assez facilement instinctivement, car si une fonction n'est pas constante, donc tel que, pour tout x, f ' (x) =0, la fonction doit être forcément croissante puis décroissante pour permettre l'égalité f(a)=f(b).
Mais pour le prouver, il y a une démonstration rigoureuse que voici:
Preuve du théorème de Rolle:
f est continue sur le segment [a,b] donc est bornée et atteint ses bornes
(L'image d'un segment par une fonction continue est un segment).
Posons M=max f sur [a,b] et m=min f sur [a,b].
* Si f(a)=f(b) =/= M, alors il existe c € ]a,b[ tel que f(c)= M. D'après le résultat sur la caractérisation des extrema (selon lequel, pour xo donné, f(xo) est un maximum [ou un minimum], alors cela implique que f ' (c)=0) implique que f ' (c)=0.
Si f(a)=f(b) =/= m, alors il existe c € [a,b] tel que f(c)= m. D'après le résultat précédemment cité, f ' (c) = 0.
Si f(a)=f(b)=m=M, f est constante sur [a,b] par continuité. En effet f(a) = min f =max f, cela implique que min f = max f, d'où f constante. Pour tout c € [a,b],
f ' (c)=0.
CQFD.
Ce théorème donne naissance à deux autres théorèmes, plus connu car assez souvent utilisé, le théorème des accroissements fini et l'inégalité des accroissements finis.
3]Le Théorème des accroissements finis et l'inégalité des accroissements finis.
Le TAF est une variation du théorème de Rolle qui permet d'utiliser ce dernier sans condition du type f(a)=f(b).
Énoncé du théorème:
Soit [a,b] un intervalle de R, et f une fonction continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[. Alors il existe c € ]a,b[ tel que:
f(b) - f(a) = f ' (c)
b - a
L'inégalité des accroissements finis indique quant à lui que, si, pour tout x appartenant à ]a,b[
m < f ' (x) < M
m( b - a) < f(b) – f(a)< M( b - a ).
La démonstration revient à utiliser Rolle.
Preuve:
On est toujours sur ]a,b[, et on a toujours les mêmes hypothèses sur f.
On pose la fonction auxiliaire
Ω [a,b] -> R
x |--> f(x) – (f(a)+ (x-a)* (f(b) -f(a))/(b-a)
Ω est continue et dérivable en tant que somme de fonction dérivable sur [a,b].
On démontre sans problème que
Ω (b) = Ω (a).
Et que Ω '(x) = f ' (x) – (f(b) – f(a))/(b-a)
Selon le théorème de Rolle, il existe c € ]a,b[ tel que
Ω ' (c) = 0, d'où f '(c) = (f(b) – f(a))(b-a)
(conclusion pour le TAF, mais on va démontrer également l'inégalité des accroissements finis ou IAF).
On ajoute maintenant l'hypothèse que pour tout x appartenant à ]a,b[
m < f ' (x) < M.
Selon le TAF, il existe c € ]a,b[ tel que f '(c) = (f(b) – f(a))/(b-a)
D'où m( b - a) < f(b) – f(a)< M( b - a ).
Remarque: l'IAF est conservé dans ₵, mais pas le TAF.
On peut également généraliser le théorème de Rolle pour tout R.
4]Généralisation du théorème de Rolle.
Énoncé de la généralisation du théorème de Rolle;
Soit f une fonction continue sur R, et dérivable sur R.
De plus, lim en -∞ de f = lim en +∞ de f = ℓ.
Alors il existe c € R tel que f ' (c) = 0.
Preuve du théorème:
*Si f est une fonction constante, pour tout x appartenant à R, f ' (x) =0.
*Dans le cas contraire, on pose la fonction auxiliaire:
g [-1,1] --> R
x |---> f(tan(п*x /2)).
Le but de cette fonction auxiliaire est de permettre de se raccrocher à Rolle en réduisant l'intervalle à un segment.
On utilise la bijectivité de la tangente ( voir l'article sur la mise de bijection de ]-pi/2,pi/2[ et ]-inf,+inf[.) pour se ramener à un intervalle restreint à [-1,1].
On a également g(-1) = g(1) = ℓ. On a g continue sur [-1,1], et dérivable sur ]-1,1[.
On peut alors appliquer le théorème de Rolle.
Il existe c € ]-1,1[ tel que g ' (c) = 0.
C'est-à-dire
f ' (tan(п*c /2)) = 0
(cos(c))²
Sachant que pour tout c appartenant [-1,1], cos(c) =/=0, on a alors
f ' (tan(п*c /2)) = 0
En posant c' = tan(п*c /2), on a donc qu'il existe c tel que f ' (c') = 0.
CQFD.
On peut trouver encore moult propriétés sur le théorème de Rolle, mais il permet surtout de trouver certaine propriétés sur les fonctions faisant appel à la dérivation.
