Dérivation (niveau 1ére S/ES, Tle STG).
Dans ce chapitre, nous allons étudier un outil très pratique et qui donne de grand résultat théorique: la dérivation. Instinctivement, il n'est pas facile de définir la dérivation d'un point de vue purement mathématique, mais il existe un moyen plus sensible pour la définir.
On considère un bateau (ou un nageur, ou une voiture...) qui possède un certain parcours (ici en rouge):
Et, arrivé à la valeur 1, au lieu de suivre son parcours, il décide d'aller tout droit et de suivre le parcours vert!
D'un point de vue mathématique, la droite verte est appelée tangente au point 1 de la courbe rouge. La dérivée peut être vu comme ça: elle nous permettra en fait de déterminer l'équation de la tangente à un point, ce qui sera utile dans certains cas (comme en physique par exemple ou par la méthode d'Euler que j'expliciterai ultérieurement).
I]Définition
limite en un point
(notion à préciser dans un chapitre ultérieur du même nom).
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f a pour limite yo en un point xo€I lorsque:
lim f(x) = yo.
x->xo
En gros on étudie le comportement local de la fonction, savoir quelle valeur va-t-elle prendre lorsqu'elle va s'approcher de ce xo. On fait tendre x vers xo c'est-à-dire qu'on s'en approche de plus en plus prêt. Un moyen simple d'évaluer la limite en xo est tout simplement de remplacer x par xo dans la formule de f(x).
Remarque: ça ne marche pas toujours de remplacer, il faut observer de quel forme est la fonction et où on se place.
Ex1:
f(x)= x² +1.
Lim f(x) = f(2) = 2² + 1 = 5.
x->;2
Ex2:f(x) = 1/x en 0.
Lim f(x) = +∞.
x->0+
En effet lorsque x->0, x devient de plus en plus petit, mais puisque f(x) est inversement proportionnel à x, f(x) devient de plus en plus grand au fur et à mesure que x approche de 0.
Nombre dérivée.
On appelle nombre dérivée d'une fonction f en xo la limite du quotient suivant:
lim f(x) – f(xo).
x->xo x - xo.
On appelle ce quotient le taux d'accroissement en xo et on le note usuellement Γxo.
On note cette limite f ' (xo).
On peut également définir le nombre dérivée de f en xo comme la limite du quotient suivant:
lim f(xo + h) – f(xo)
h->0 h
Remarque: Il s'agît du même calcul que le taux d'accroissement, sauf que cette fois on a posé
x=xo+h avec h qui tend vers 0.
Le nombre dérivé est l'outil qui va nous permettre d'étudier la tangente à la courbe en un point particulier (et plus tard, nous permettra d'en savoir un peu plus sur la fonction étudiée).
Par exemple, étudions le nombre dérivée de la fonction f(x) = x^2 en 0.
Selon la définition du nombre dérivée,
f ' (0) = lim x² - (0)²
x->0 x
= lim x = 0
x->0
La fonction f(x) a donc un nombre dérivée nulle en 0.
3)Fonction dérivable en un point
On dit qu'une fonction f est dérivable en un point si la limite du taux d'accroissement, c'est-à-dire
lim f(x) – f(xo) existe et est finie.
x->xo x - xo
Ex1:
Par exemple considérons le nombre dérivée de la fonction f(x) = 1/x en 0.
Appliquons le taux d'accroissement en 0:
lim f(x) – f(0).
x->xo x
On peut voir que la fonction a un problème en x=0, elle n'est pas définie.
On dit alors que la fonction f n'admet pas de nombre dérivée en 0 car le taux d'accroissement n'existe pas.
Ex2:
On considère maintenant la fonction f(x)=√x et on s'intéresse à son nombre dérivé en 0.
Taux d'accroissement:
lim f(x) – f(xo). = lim √x– 0 = lim 1/√x.
x->xo x - xo x->0 x x->0
Il faut savoir que lorsque x tend vers 0, 1/√x « tend » vers plus l'infini. On dira également que
1/√x diverge vers +∞ lorsque x tend vers 0.
Dans ce cas, la limite du taux d'accroissement existe (pas de problème de définition en 0) mais il n'est pas fini: la fonction f(x)=√x n'admet donc pas de nombre dérivée en 0.
Morale: Ce n'est pas parce que le taux d'accroissement existe que le nombre dérivée existe!
4)Fonction dérivable en tout point d'un intervalle [a,b]
On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle [a,b] si et seulement si elle est dérivable en tout point de [a,b].
Autrement dit, f est dérivable en tout point de [a,b] si le taux d'accroissement existe et est finie en tout xo de [a,b].
On l'appellera la fonction dérivée, c'est-à-dire la fonction qui nous donnera la dérivée en tout point xo, et on notera f ' (x).
Ex1:
La fonction f(x)=x est dérivable sur tout R.
Ex2: La fonction f(x)=1/x est dérivable sur ]-∞,0[U]0,+∞[.
Ex3: La fonction f(x)=√x est dérivable sur ]0,+∞[.
5)Tangente
On définit la tangente t en un point xo de la courbe de f comme étant la fonction affine (c'est-à-dire une droite dont l'équation est de la forme ax+b) pour laquelle t(xo)=f(xo). Nous y reviendrons juste après notamment pour déterminer son équation.
A retenir: Une fonction est dérivable sur tout [a,b] si et seulement si le taux d'accroissement possède une limite finie en tout point. Pour que ce taux existe, il faut que la fonction soit définie en un point. Mais ce n'est pas parce qu'elle est définie qu'elle est dérivable (contre-exemple, la racine en 0).
On parle alors de condition nécessaire mais non suffisante (condition qui est nécessaire à l'existence, mais qui ne permet pas de l'affirmer): une fonction f peut être dérivable en xo si elle est définie en xo.
II] Tangente en un point.
Définition-Propriété
Rappel de la définition de la tangente:
On définit la tangente t en un point xo de la courbe de f comme étant la fonction affine (c'est-à-dire une droite dont l'équation est de la forme ax+b) pour laquelle t(xo)=f(xo). Nous y reviendrons juste après notamment pour déterminer son équation.
En effet on dit « La » et non « l'une des »:
Propriété: Une fonction f dérivable sur [a,b] admet un unique nombre dérivée en chaque point de [a,b].
Conséquence: La courbe f admet une unique tangente en chaque xo de [a,b].
Nous allons voir pourquoi peut-on affirmer cette conséquence en déterminant l'équation de la tangente.
2)Equation d'une tangente.
En fait, nous pouvons voir la tangente comme étant la position limite d'une droite:
Reprenons la situation de tout à l'heure.
t1 est la droite de coefficient directeur (f(2)-f(1))/1
(pour rappel, le coefficient directeur d'une droite est obtenu en connaissant deux valeurs f(a) et f(b) et en faisant le quotient (f(b)-f(a))/b-a).)
t2 a pour coefficient directeur (f(1,5)-f(1))/0,5.
T est la tangente en x=1 de f.
On prend une voiture qui suit le parcours en rouge. On suppose que le conducteur, même si ce n'est pas prudent, regarde le point de coordonnée (1,f(1)), qu'on appellera M pour plus de simplicité, tout le temps avant de l'atteindre.
La première droite, t1, représente la ligne de vision qu'il a par rapport à ce point M, lorsqu'il est à x=2, c'est-à-dire au point de coordonnée (2,f(2)).
T2 correspond quant à elle à la ligne de vision qu'il a sur M à partir de la position (1,5,f(1,5)).
Comme on peut le voir, plus la voiture avance, plus le conducteur a sa ligne de vision qui se rapproche de la tangente: t2 se rapproche plus de t comparé à t1. Et plus il avancera plus sa ligne de vision se rapprochera de la tangente: on peut alors voir celle-ci comme étant la position limite de sa ligne de vision, c'est-à-dire qu'elle désigne dans quelle direction pointera son regard lorsqu'il sera en x=1.
D'un point de vue plus mathématique, la tangente est vu comme la position limite des droites lorsque le coefficient directeur de celles-ci, c'est-à-dire:
f(x) – f(1) / x – 1
voit son x tendre vers 1. C'est la définition même du taux d'accroissement, plus x est petit, plus on se rapproche du nombre dérivée.
Plus généralement, pour une fonction f donnée (et dérivable, cela va de soi), nous avons donc le coefficient directeur d'une droite passant par un certain point (xo,f(xo)) qui est de la forme:
f(x) – f(xo) / x – xo, tout dépend quelle valeur de x va-t-on prendre.
Plus x se rapproche de xo, plus on se rapproche du nombre dérivée (pour rappel:
lim f(x) – f(xo). =f ' (xo).
x->xo x - xo.
C'est-à-dire que le coefficient directeur de la droite passant par xo lorsque x=xo est égale à la limite du taux d'accroissement de f en xo, c'est-à-dire le nombre dérivée.
Par conséquent, nous pouvons écrire, avec un abus de notation (en supprimant la limite) en posant y=f(x):
y – f(xo) = f ' (xo)
x - xo.
Y – f(xo) = f ' (xo)(x-xo)
y = f ' (xo)(x-xo) + f(xo).
Propriété: L'équation d'une tangente d'une courbe de la fonction f en un point xo est de la forme:
y = f ' (xo)(x-xo) + f(xo).
Ex1: Calculons la tangente (enfin!) de la courbe de notre conducteur au point x=1.
La fonction f est la fonction f(x)=x².
Calculons son nombre dérivée en 1:
lim f(x) – f(1). = lim x²– 1. = 2
x->1 x - 1. x->1 x - 1.
(on verra pourquoi après ce paragraphe).
Nous avons donc:
y=2*(x-1) + 1²
y=2x – 2 + 1
y=2x -1
Voilà l'équation de la tangente!
A retenir: Le nombre dérivée en xo est en faite le coefficient directeur de la tangente au point xo. L'unicité de ce nombre dérivée nous garantit l'unicité de la tangente et nous permet de trouver l'équation de cette tangente: pour s'en rappeler, on se souviendra que:
y – f(xo) = f ' (xo),
x - xo.
puis on manipulera l'égalité de manière à avoir y en fonction de x. Le plus simple étant aussi de se souvenir de l'équation de la tangente ;).
La tangente peut être vu comme la "position limite" des droites passant par (xo,f(xo))!
III]Quelques dérivées usuelles
1)Tableau des dérivées usuelles
Ces dérivées sont calculées en utilisant la formule du taux d'accroissement en un xo quelconque. Vous pouvez vous amuser à les démontrer, certaines n'étant pas faciles à faire (si vous voulez plus d'information, je peux vous les fournir!)
Le tableau donne les fonctions dérivées sur l'intervalle; pour avoir une valeur précise, remplacez x par la valeur que vous voulez!
Pour précision: tan(x) est n'est pas défini en pi/2 et de tous les x tels que x= pi/2+k*pi, c'est-à-dire tous les x tels que x soit égale à pi/2 plus une certaine somme de pi , nous reverrons ça dans le chapitre trigonométrie.
Par exemple, reprenons encore la courbe f(x)=x².
Tout à l'heure, nous avons admis le résultat f ' (1)= 2.
Nous allons le prouver maintenant:
Prenons la formule de dérivation de x²: f ' (x) = (x²)' = 2x.
Donc f ' (1) = 2.
2)Opération sur la dérivation.
Dans ce paragraphe, nous considérerons deux fonctions u et v supposées dérivables sur [a,b].
On notera pour alléger la rédaction: u' = u'(x) et v' = v'(x).
On va dériver des opérations de fonctions:
Somme: (u+v)'= u' + v'.
Produit (uv)' = u'v + uv'.
Quotient: (u/v)'= (u'v – uv')/v².
Multiplication par une constante a: (au)' = au'.
Addition d'une constante a: (u+a)'=u'
Ex1: Calculer (x² + √x)'
On applique les règles de calcul:
(x² + √x)' = (x²)' + (√x)'
Puis on applique les formules:
(x² + √x)' = (x²)' + (√x)' = 2x + 1/2√x.
Ex2: Calculer ((x+1)*cos(x))'
Application des règles de calcul:
((x+1)*cos(x))'= (x+1)' * cos(x) + (x+1)*cos'(x).
Puis formules:
((x+1)*cos(x))'= (x+1)' * cos(x) + (x+1)*cos'(x) = x*cos(x) -(x+1)sin(x).
A retenir: paragraphes bêtes et méchants, il faut apprendre les formules.
IV]Application de la dérivation
Nous allons enfin voir à quoi sert la dérivation en plus de calculer les tangentes!
L'une des application va vous suivre pendant un bon bout de temps car vous allez l'appliquer des milliers de fois, d'où la nécessité de savoir dériver. La seconde est bien plus rare mais peut servir.
1]Variation d'une fonction
Une des applications les plus intéressantes, si ce n'est la plus intéressante, du moins au lycée, est la variation de fonction: on va en effet pouvoir connaître pas mal de choses d'une fonction à partir de sa dérivée!
Explications:
On considère la fonction f(x)=x².
En vert la tangente au point 1. En jaune clair, la tangente au point -1.
Comme on peut le voir, lorsque f est croissante, la tangente l'est également (vert), lorsque f est décroissante, f décroit (jaune).
Figurez vous que l'on peut généraliser ce résultat:
Si une tangente de f a un coefficient directeur positif, alors elle croît, ce qui implique que f est croissante! Et vice-versa, si une tangente de f a un coefficient directeur négatif, alors elle décroit.
Nous allons généraliser cela et donc nous donner un outil puissant pour connaître les variations d'une fonction.
Pour tout le paragraphe, on considère f une fonction définie et dérivable.
Rappel: On appelle fonction dérivée, et on note f '(x) la fonction telle qu'en tout point xo
lim f(x) – f(xo). = f ' (xo).
x->xo x - xo.
C'est elle qui va nous donner la valeur du coefficient directeur.
Propriété: On considère f une fonction dérivable sur un intervalle I et f ' sa dérivée.
Si f ' (x) > 0 alors f est strictement croissante.
Si f ' (x) > 0 alors f est croissante.
Si f ' (x) < 0 alors f est décroissante.
Si f ' (x) < 0 alors f est strictement décroissante.
Cas particulier:
Si f ' (x) = 0 alors f(x) est une constante.
Propriété:
On considère un intervalle I.
La somme et le produit de deux fonctions dérivables sur I est une fonction dérivable. En ce qui concerne le quotient de deux fonctions f et g dérivables sur I, si g ne s'annule jamais sur I et que g' ne s'annule jamais, alors f/g est dérivable sur I.
Méthode d'étude:
On considère f une fonction.
Après avoir montrer qu'elle était dérivable sur un intervalle grâce aux ensembles de définition et de dérivabilité donné dans le tableau, on la dérive grâce aux règles de calcul et formules
Puis on analyse le signe de f ' (x) en fonction de x, en posant par exemple comme inégalité
f ' (x) > 0.
Puis nous reportons cela dans un tableau de variation:
Ce tableau permet de contrôler d'un clin d'oeil les variations de f en fonction du signe de f ' (x).
Il se présente ainsi:
Un exemple de tableau:
Comme vous pouvez le remarquer, les variations sont indiquées par des flèches, pointant vers le haut ou vers le bas selon les variations.
J'ai choisi une fonction f dont la dérivée s'annule en 0. On le signale par une barre simple avec un 0 barré.
Lorsqu'une valeur interdite (un endroit où f n'est pas défini) se trouve dans l'intervalle, on le signale d'une double barre || en précisant la valeur pour laquelle f n'est pas défini dans l'intervalle sur la première ligne.
Enfin, on peut remarquer que lorsque la dérivée s'annule en 0, la fonction change de variation: nous allons formuler cela comme une propriété.
Propriété: Soit f fonction dérivable. S'il existe xo tel que f ' (xo) = 0, alors la tangente au point xo est horizontale.
De plus, si le signe de f ' (x) pour x <>xo, alors f(xo) est un maximum/minimum local de f.
Il s'agît d'une condition nécessaire mais non suffisante, un contre-exemple est la fonction cube.
Calculons la dérivée en 0:
f ' (x) = (x^3)' = 3x^2. En 0, f ' (0) = 0 et pourtant, f (0) n'est pas un maximum ni un minimum.
Définition.
On appelle maximum local la valeur f(xo) tel que pour tout x appartenant à [a,b], f(x)
On appelle minimum local la valeur f(xo) tel que pour tout x appartenant à [a,b], f(x)>f(xo).
Le maximum global est le plus grand des maxima locaux.
Le minimum global est le plus petit des minima locaux.
Un exemple d'étude:
f(x) = x^4 +1.
f est dérivable sur R en tant que fonction polynômiale.
On a f ' (x) = 4*x^3.
4*x^3>0
x>0.
Tableau de variation:
Remarque: Au point où la dérivée s'annule, on a pour habitude (mais cela prendra vraiment un intérêt qu'en terminale) de marquer la valeur de f(x) à ce point.
A retenir (car paragraphe très important): La dérivation est un outil: grâce à la fonction dérivée, on peut savoir quelles sont les variations d'une fonction.
Pour les connaître il faut suivre le schéma suivant:
On précise dans quel intervalle on se place et sur quel intervalle on dérive.
On dérive.
On détermine le signe de f ' (x) en fonction de x.
On fait un tableau de variation.
Remarque: Il manque encore des valeurs: ce que l'on appelle les valeurs limites. Nous serons en mesure de les compléter lorsqu'on aura fait le chapitre sur les limites.
2]Approximation affine.
Application moins répandue, elle fait aussi appel à la notion de dérivée. Approchons cela d'une manière instinctive.
On considère la fonction racine carrée et la tangente en 1 de la fonction racine carrée, c'est-à-dire la tangente d'équation y = ½ x + ½.
On va essayer d'approximer la valeur √0,999.
Pour cela, observons le graphique:
On observe que plus on s'approche de la valeur 1, plus on est prêt de la courbe f. L'idée va être d'exprimer en fonction de la tangente au point le plus proche qui a une valeur particulièrement facile à trouver la valeur que l'on souhaite déterminer. On va poser un h assez petit: plus on prend h grand, plus on s'éloigne du point considéré (l'éloignement est représenté par les cercles noirs).
D'un point de vue théorique:
On peut dire que la tangente t en xo est une bonne approximation de f en xo.
On a donc que t(x) = f ' (xo) (x-xo) + f (xo) ≈ f(x) au voisinage de xo.
On a donc, si l'on prend h assez petit et un x tel que x=xo+h.
t(xo+h) = f '(xo)(xo+h-xo) + f(xo)
= f' (xo)h + f(xo) ≈ f(xo+h).
On a donc f(xo) ≈ f(xo+h) – f' (xo)h.
Appliqué à notre étude, cela nous fait:
√0,999= √1 – (1/2√0,999)/0,001.
Ce qui nous donne
√0,999 = 0,999 - ½ *0,001
Voici les résultats:
Première ligne notre approximation, deuxième ligne la véritable valeur.
Comme on peut le voir, cette approximation n'est pas si mal.
On peut donc formaliser la propriété suivante:
Propriété:
Soit f une fonction dérivable en tout point de [a,b], x, h, et xo tels que x=xo+h, avec h « très petit »..
Alors on peut faire l'approximation suivante:
f(xo+h) = f' (xo)h + f(xo).
Partie réservée aux postbac (ou aux petits curieux mais ils faut qu'ils apprennent les développements limités avant!)
Pour les plus avancées dans leurs études, ils auront certainement reconnu la partie entière du développement limité de la fonction h-> f(xo+h).
En effet, prenons le DL à l'ordre 1 de f.
f(x) = f(xo) + f'(x0)*(x-xo) + o(x-xo).
En posant x=xo+h; on a f(xo+h) = f(xo) + f '(xo)*h + o(h)
On reconnaît la partie entière du DL comme étant l'approximation affine.
