Curiosité: R en bijection avec N

R en bijection avec N? Pas possible!

La preuve?

On va utiliser la méthode de Cantor.

J'introduis juste une notation: lorsque je pose e(i) par exemple, i est un indice entier appartenant à N (l'ensemble des entiers positifs!).i est à priori quelconque, il parcourt l'ensemble des entiers.

Lorsque je dis b(i,i) par exemple, je ne me référe à aucune valeur particulière de i, juste au terme b où le premier indice est égale au second.

Un second rappel: la bijection est une propriété qui dit que si une application (une formule par exemple) met en bijection deux ensembles, alors pour tout élément du second ensemble, il existera un élément dans le premier tel que celui-ci soit l'unique antécédent du second; la formulation n'est pas rigoureusement juste, mais c'est pour aider les personnes un peu allergiques à la rigueur mathématique.

La définition exacte est: Soient P et Q deux ensembles. Si u est une application de P dans Q bijective, alors pour tout élément de Q, il existe un et un unique antécédent tel que pour y€Q, u(x)=y, avec x€P.

En gros, prenons un exemple tout bête: on a 10 assiettes et un nombre p de patates. Si p=10, alors je peux mettre une patate dans chaque assiette, et je peux savoir d'où vient la patate que j'ai mise dans une assiette, c'est la bijection. Ce n'est pas bijective si, par exemple, j'ai une assiette vide, ou une assiette où il y a plus d'une patate.

On considère R: {x(n), n€N} c'est-à-dire qu'on considère R l'ensemble des rationnels comme les termes de la suite d'expression général x(n), à priori inconnu.

Si je prouve que cette suite est bijective, c'est-à-dire que pour un n donné, je peux trouver un et un seul rationnel, je prouve que R est en bijection avec N.

En base 10, on peut écrire tout nombre réel comme un nombre entier suivi de décimales.

C'est-à-dire sous la forme:

x(n)=5,654153468548 par exemple (il est possible que le nombre de décimales soit très grand.)

On pose donc la chose suivante:

x(0)= e(0,0),b(1,0)b(2,0)b(3,0)....b(n,0)...

e(i,0) est un entier, il représente ce qu'il y a avant la virgule (ça peut être 1, 25, 5245...Il peut à priori prendre toute valeur possible). Le premier indice indique à quel x(i) appartient cet entier, et le second indice, qui sera toujours égal à 0, est là pour le distinguer d'une forme que je vais introduire plus loin.

b(i,j) est un entier, qui prend une valeur entre 1 et 9 (c'est-à-dire 11 ou 2 ou3 ou 4 ou 5 ou 6 ou 7 ou 8 ou 9) également, il s'agit de la ième décimale (qui correspond au premier indice en fait,) et le deuxième i indique à quel réel x(j) appartient la décimale.

Je définis donc le premier terme de ma suite x(n) qui est sensé contenir tous les réels.

Pour n=1,

x(1)= e(1,0),b(1,1)b(2,1)b(3,1)....b(n,1)...

x(2)= e(2,0),b(1,2)b(2,2)b(3,2)....b(n,2)...

x(3)= e(3,0),b(1,3)b(2,3)b(3,3)....b(n,3)...

...

Donc pour tout entier n, x(n) est de la forme:

x(n)= e(n,0),b(1,n)b(2,n)b(3,n)....b(n,n)...

J'introduis alors une nouvelle notation:

Je pose, e(0,0)+1=e(0).

En gros, je prend le chiffre devant la décimale, et je l'augmente de 1.

Et je pose, pour n > 1:

Si b(i,i)€{1,2,3,4,5,67}, c'est-à-dire si b(i,i) prend soit la valeur, 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6 ou 7, je lui demande de faire b(i)=b(i,i)+1.

Si b(i,i)€{8,9}, cette fois, je lui demande de retirer un, c'est-à-dire b(i)=b(i,i)-1

Et je regarde en diagonale de la manière suivante en fait:

x(0)= e(0,0),b(1,0)b(2,0)b(3,0)....b(n,0)...

x(1)= e(1,0),b(1,1)b(2,1)b(3,1)....b(n,1)...

x(2)= e(2,0),b(1,2)b(2,2)b(3,2)....b(n,2)...

x(3)= e(3,0),b(1,3)b(2,3)b(3,3)....b(n,3)...

.

.

.

x(n)= e(n,0),b(1,n)b(2,n)b(3,n)....b(n,n)...

Et je forme ainsi un nouveau terme:

x=e0,b(1)b(2)b(3)....b(n)...

x peut donc appartenir à R puisqu'il s'écrit comme un irationnel.

Or, x n'appartient à l'ensemble des termes de ma suite:

en effet, si je considère le terme devant la virgule, il n'est pas égale au terme qui est devant la virgule en x(0).

De même, si je compare chaque décimale, je ne peux égaler deux développement décimal à la suite (on appelle développement décimal l'ensemble des décimales en gros.), à cause de mon choix pour b(i).

Ainsi, j'ai créé un terme irrationnel qui n'appartient pas à ma suite x(n).

Donc, x(n) ne contient pas l'ensemble des réels <=>

R n'est donc pas en bijection avec N.