Gauss is watching you!
Le Pivot de Gauss efficacement
Le but du Pivot de Gauss est de résoudre un système 3*3 très facilement!
Le principe est simple: on va éliminer tour à tour les variables dans une ligne.
Tout d'abord, il est bon de rappeler que:
-On peut multiplier une ligne par un nombre quelconque.
-On peut additionner et soustraire des lignes.
Mais il est interdit d'utiliser une ligne pour soustraire à une autre alors que celle-ci est déjà en train d'être modifié! (peine de mort au moins comme dirait mon professeur de mathématiques de spé!)
Pour cela illustrons avec un exemple:
Prenons le système:
M: x -y +2z = 1
3x -2y +4z = 2
2x +3y -10z=1
=>Conseil: prenez la peine de bien mettre en colonne les variables: faites une « colonne » de x, une de y et une de z.
Nous pouvons voir que le coefficient devant le x de la première ligne est 1 (x=1*x).
=>Conseil: utilisez toujours la ligne où se trouve le coefficient le plus facile à utiliser (1 est le top, 2 et 3 servent...mais ne vous compliquez surtout pas la vie!).
A partir de là, on va se servir de la première ligne pour éliminer les x de la deuxième et la troisième ligne, on élimine donc le x des deux dernières lignes.
Étape 1
On fait donc :
3L1 – L2 qui donne une nouvelle ligne L2
2L1 – L3 qui donne une nouvelle ligne L3.
Ce qui nous donne
x – y + 2z = 1
-y + 2z=1
-5y + 14z= 1
Nous avons donc éliminer la variable x de la ligne 2 et de la ligne 3.
Étape 2
Comme on peut le voir, on pourrait soustraire la ligne 2 à la ligne 1 pour avoir la valeur de x, mais faisons comme si nous n'avions rien vu.
Nous nous retrouvons avec les deux dernières lignes qui n'ont que deux inconnues:
-y + 2z=1
-5y + 14z= 1
A partir de là, on va faire comme plus haut, on va essayer d'éliminer une autre variable, en faisant par exemple l'opération suivante pour éliminer y:
5L2-L3 qui donne une nouvelle ligne L3.
On a donc
L3: -4z = 4.
En remplaçant dans le système M, on obtient donc:
L1: x -y +2z = 1
L2: -y +2z=1
L3 -4z=4
Étape 3
On devine aisément que z=-1
La suite de la procédure est la suivante:
L1: x -y +2z = 1
L2: -y +2z=1
L3 z=-1
(Un tel système est dit triangulaire, mais ce n'est juste qu'un détail, c'est juste qu'on les résout assez facilement.)
=>Conseil: Prenez le temps de réécrire tout le système en entier, à chaque étape, sous peine d'erreurs de calculs.
On prend la valeur de z qu'on remplace à la deuxième ligne.
On a donc
L1: x -y +2z = 1
L2: -y +2(-1)=1
L3 z=-1
Ce qui donne y = -3
Et on remplace y et z dans la première ligne par leurs valeurs:
L1: x -(-3) +2(-1) = 1
L2: y = -1
L3 z=-1
On obtient du coup x =0.
L'unique triplet solution est donc (0,-1,-1).
Donc pour résumer:
On vire l'une des inconnus de deux lignes en utilisant une ligne où il y a un coefficient 1 devant l'une des inconnues.
On soustrait ou on additionne (et on peut multiplier aussi) cette ligne aux deux autres, elle sert de pivot pour supprimer l'inconnue. (étape 1)
Ensuite, on arrive à deux lignes à deux inconnues (étape 2) qu'on additionne, soustrait entre elles en les multipliant pour obtenir une ligne où il n'y a plus qu'une inconnue.
Enfin (étape 3), on remplace progressivement les valeurs, qu'on a trouvé dans les deux autres lignes.
Dans ce cas-là, deux situations peuvent se présenter: ou bien le système est dit incompatible (aucune solution) ou bien le système admet une solution unique! (qu'on appelle en général triplet)
La méthode générale est donc:
On supprime une variable dans deux lignes grâce à la troisième ligne.
Puis on supprime une deuxième variable avec les deux lignes modifiés grâce aux opérations des systèmes.
Puis on remplace progressivement les valeurs trouver dans le système.
Ça marche à tous les coups!
(Merci à M. Mahé, professeur de mathématiques de MPSI au lycée Pierre Corneille de Rouen pour m'avoir donné une méthode aussi claire pour la résolution de tels systèmes.)
