Fiche: Géométrie du triangle.

Fiche sur la géométrie du triangle:
Cette fiche est très utile car tout au long de la scolarité secondaire, le triangle est sûrement l'une des figures les plus étudiés.

Niveau: 6éme.

Les triangles:
1)Généralité sur les triangles.


Un triangle est composé de trois côtés: pour nommer un côté, on utilise les lettres qui sont aux extrémités. Ainsi, les trois côtés sont le côté [AB], [BC] et [CA].
Un triangle est composé de 3 sommets, ce sont les "bouts" du triangle, où sont notés les lettres: chaque sommet d'un triangle est appelé par une lettre. Ce triangle a le sommet A, le sommet B, et le sommet C.
Nota Bene: Il est usuel d'appeler les côtés opposés (ou en face) des sommets par le nom du sommet.
Un triangle est composé également de trois angles: ABC, BAC, et ACB. Les angles sur le dessin sont représentés en rouge. On utilise la lettre représentant le sommet où se trouve l'angle.

2)Des triangles particuliers.
a)Le triangle rectangle.

Le triangle rectangle possède comme particularité de posséder un angle droit:
On dit alors que les côtés [BA] et [CA] sont perpendiculaires en A. De même, on dit que le triangle ABC est perpendiculaire en A.

b)Le triangle isocèle.
Le triangle isocèle posséde comme particularité d'avoir deux côtés de même longueur.

Sur ce dessin, les côtés de même longueur sont les côtés [CB] et [CA]. On dit alors que le triangle ABC est isocèle en C.
On dit que le triangle est isocèle au sommet où les deux côtés de même longueurs se croisent.
c)Le triangle équilatéral.
Le triangle équilatéral possède comme particularité d'avoir ces trois côtés de même longueur.
On dit alors que le triangle ABC est équilatéral.
d)Combinaison.
Un triangle peut être à la fois isocèle, et rectangle, mais pas équilatéral et isocèle, ou équilatéral et rectangle.


Niveau 5éme.
Les composantes d'un triangle.
1)La hauteur
On appelle hauteur d'un triangle la droite, demi-droite, ou segment qui coupe un sommet, et le côté opposé à ce sommet perpendiculairement.
Par exemple, dans ce triangle, la droite issue de B, coupe le côté [AC] perpendiculairement. Il s'agît de la hauteur.

2)La médiane.
On appelle médiane d'un triangle la droite, demi-droite ou segment qui coupe un sommet et son côté opposé en passant par le milieu de celui-ci.
Par exemple, sur cette figure est représenté en rouge la médiane issue du sommet C coupant [AB] en son milieu.
3)La médiatrice.
On appelle médiatrice d'un triangle la droite, demi-droite ou segment qui coupe un côté de ce triangle perpendiculairement en son milieu.
Par exemple, dans ce triangle isocèle, la hauteur est confondu à la médiane, ce qui nous donne la médiatrice.
La médiatrice coupe le sommet opposé dans certains triangles: les triangles isocèles, si le côté coupé par la médiane est le côté opposé au sommet où le triangle est isocèle, et les triangles équilatéraux, où chaque médiatrice à chaque côté passe par le sommet opposé. Sinon dans la plupart des cas, la médiatrice ne coupe pas de sommet d'un triangle.

4)La bissectrice, trisectrice, etc...
On appelle bissectrice d'un triangle la droite, demi-droite, ou segment qui est issue d'un sommet et qui coupe l'angle de ce sommet en deux angles égaux.
Les trisectrices sont deux droites, demi-droites, ou segments coupant l'angle du sommet en trois angles égaux, et ainsi de suite...

Dans un triangle isocèle, si on parle de la hauteur issue du sommet où le triangle est isocèle, cette hauteur est également bissectrice de l'angle.

Remarques: dans un triangle, le centre de croisement des médianes se situent au 1/3 de chacune.

Niveau 4éme.

I]Le théorème de Pythagore.

1)Énoncé général du théorème de Pythagore:

Quelques détails: dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit est toujours le plus grand: il s'appelle l'hypoténuse.

Lorsque l'on note un côté sans crochet ( [] ), cela veut dire que l'on considère la longueur du côté en question.

Soit un triangle ABC rectangle en A.
L'hypoténuse est le côté [BC].
Par le théorème de Pythagore.
BC²=AC²+BA².

Donc le côté BC mesure racine carrée de AC²+BA².

Par déduction, il est possible, tant que nous avons au moins deux des trois côtés, de calculer la longueur d'un de ses côtés, en faisant des opérations algébriques.

Par exemple nous cherchons AC et nous possédons déjà AB et BC.
Reprenons la relation BC²=AC²+BA².
Sachant que nous possédons la longueur de BC et BA, il suffit de calculer la longueur AC selon la relation BC²-AB²=AC².
Donc la longueur de AC est égale à la racine carré de la différence de l'hypoténuse au carré et de l'un de côté adjacent, ici AB, au carré.

2)Réciproque du théorème de Pythagore.

Il existe une réciproque à ce théorème: elle sert à vérifier si un triangle est rectangle. On l'énonce de la manière suivante:

Soit le triangle ABC

Son plus grand côté est CB,
Par la réciproque du théorème de Pythagore.

Les côtés doivent vérifier l'égalité suivante:
CB² = AB² + AC²
Si les côtés vérifient cette égalité, alors le triangle est bien rectangle en A. Sinon, il ne l'est pas.

3)Particularité d'un triangle.
Tout triangle a la somme de ses angles qui fait 180°. C'est un principe qui s'applique tout le temps, sauf sur les triangles inscrits sur une sphère.

II]Le théorème de Thalès.
1)Enoncé général du théorème de Thalès.


Soit le triangle ABC suivant:

E appartient à [AC]
F appartient à [AB]
(EF) est parallèle à (BC)
Par le théorème de Thalès:

AE/AC = AF/AB = EF / CB.

Il s'agît d'un théorème qui se base sur les proportionnalités dans un triangle. Il peut s'utiliser dans un triangle quelconque, isocèle, rectangle, ou équilatéral.

Il existe un moyen mnémotechnique assez simple pour se rappeler des proportionnalités:
Prenez ces deux lignes:
E appartient à [AC]
F appartient à [AB].
On peut voir que le A apparaît deux fois.
Pour ne pas se tromper, on prend la lettre qui apparaît deux fois dans les lignes signalant les points appartenant aux segments, et on l'écrit directement 4 fois sur les fractions comme ceci:
A /A = A / A.
Ensuite on remplit les fractions de la manière suivante:
On prend les deux lettres de la première phrase qui apparaissent de manière unique, et on les place dans la première fraction ce qui va donner ceci:
AE/AC = A / A.
On fait la même chose avec la deuxième phrase:
AE/AC=AF/AB.
Ensuite pour la dernière fraction, il faut lire en ligne, on prend les lettres qui apparaissent de manière unique en haut, et on reporte les deux sur la dernière fraction au numérateur.
On fait pareil pour le dénominateur ce qui va nous donner l'égalité suivante:
AE/AC=AF/AB=EF/CB

NB:Ce théorème peut être utilisé d'une autre façon en 1éreS. [Se référer à la fiche sur les barycentres à venir].

Il permet de trouver la longueur d'un côté manquant s'il est indiqué que nous avons bien deux segments, demi-droites, ou droites parallèles! Par exemple, si l'on reprend le triangle ci-dessus:
On cherche le côté [AB], on sait que [EF] est parallèle à [CB].
On applique la proportionnalité:
AE /AC = AF /AB = EF / CB.
On suppose qu'on connaît AE, AC et AF.
On recherche AB par la manière suivante:
AE / AC = AF / AB.
On en déduit que AB = AC*AF /AB.

III] Le calcul d'aire d'un triangle.
Soit un triangle ABC:
On appelle le segment issu de B la hauteur du triangle. On considère alors que [AC] est la base du triangle.
L'aire du triangle ABC est alors égale à:
(AC * hauteur) /2.
Plus généralement l'aire d'un triangle est égale à la relation suivante:
(Base * hauteur)/2.

Niveau 3éme
I]La réciproque du théorème de Thalès.
1)Enoncé générale.
On cherche à savoir si (EF) et (CB) sont parallèles.
On considère le triangle ABC.
E appartient à [AC] et est distinct de A et de C. <=> A, E et C sont alignés.
F appartient à [AB] et est distinct de A et de B. <=> A, F et B sont alignés.
[AC] et [AB] sont sécants en A.
Par la réciproque du théorème de Thalès:

Si les longueurs vérifient l'égalité suivante:
AE/AC = AF/AB et si les points A, E, C, et A, F, B sont alignés dans le même ordre, alors.
(EF) et (CB) sont parallèles.

Plus généralement, on peut utiliser le théorème de Thalès et sa réciproque sur deux droites, mais il faut qu'elle soit sécantes, et que les points soient alignées dans le même ordre.
Un exemple:

On appelle d et d' les deux droites sécantes en A.
B, A et E sont alignés
Et C, A et F sont alignés dans le même ordre.
C'est seulement dans le cas où l'on cite les points dans le même ordre qu'on peut utiliser Thalès et sa réciproque.


2)Théorème de la droite des milieux.
Ce théorème peut être utile pour éliminer des cas où on pourrait gagner du temps. Voici son énoncé:
"Toute droite passant par le milieu de deux côtés d'un triangle est forcément parallèle aux troisième."


III]Trigonométrie.



1]Introduction à la trigonométrie.

On considére un triangle rectangle ABC. On cherche à calculer l'angle que forme [CA], et [CB], donc l'angle ACB. On connaît les trois longueurs du triangle.
On va alors utiliser ce que l'on appelle trigonométrie du triangle.
La trigonométrie telle qu'on l'apprend en troisième ne s'applique que dans des triangles rectangles.

Quelques points de vocabulaires: on considère le triangle ABC ci-dessus.
On notera l'angle ACB=Y. a est le côté opposé à l'angle droit, il s'agît de l'hypoténuse. Le côté avec lequel l'hypoténuse forme l'angle (on omet pour l'instant le cas où l'angle n'est pas formé par l'hypoténuse et un autre côté.) est appelé côté adjacent. Le côté qui est opposé à l'angle utilisé est appelé côté opposé.

II]Formule trigonométrique.

On va introduire ici trois mots de vocabulaires importants:
le sinus, le cosinus, et la tangente. Ces trois mots seront toujours accompagné d'un angle:
par exemple, pour le triangle ABC suivant:
On parleraalors de cos Y, sin Y et tan Y.

Il existe des formules permettant de calculer le cosY, le sinY, et le tanY.
Elles sont au nombre de trois.
Ce que j'appelle côté adjacent, hypoténuse, et côté opposé sont en fait les longueurs des dits-côtés.
CosY=Côté adjacent/Hypoténuse. SinY=Côté opposé/Hypothénuse. TanY=Côté opposé/Côté adjacent.

Il existe un moyen mnémotechnique assez simple pour s'en souvenir, il s'agît d'un "mot" qui se retient facilement:
SOHCAHTOA
Où SOH veut dire Sinus = opposé/hypothénuse, Cosinus=adjacent/hypothénuse, et Tangente=opposé/adjacent.

Le cas particulier est celui où on utilise l'angle droit pour effectuer les calculs: comme on va le voir dans les valeurs particulières des sin, cos et tan, sin 90 = 1, cos 90 = 0, et tan 90 n'existe pas.

III]Valeurs remarquables en trigonométrie.

Il existe quelques valeurs remarquables en trigonométrie.
Cos 45 = Sin 45 = √2 / 2 Tan 45 = 1
Cos 60 = 1 /2 Sin 60 = √3 / 2 Tan 60 = √3
Cos 30 = √3 / 2 Sin 30= 1 /2. Tan 30 = 1 / √3
Cos 90 = 0 Sin 90 = 1. Tan 90 n'existe pas

(lors des cours de 1ére S sur la trigonométrie et sur les fonctions et leur limite, on pourra constater que tan 90 n'existe pas car tan90 tend vers +∞.)

Cos 0 = 1 Sin 0 = 0. Tan 0 = 0.


La valeur de la tangente peut également se trouver de la manière suivante:
TanY= SinY/Cos Y.

III]Calcul de volume d'une pyramide.

Une pyramide est une figure dans l'espace, c'est-à-dire en 3 dimensions.
Il s'agît d'une figure à base quadrilatère.
Un exemple de pyramide.


Pour calculer son volume, on utilisera la formule suivante:
Vpyramide =⅓ base*hauteur.

Où Base est aire de la base de la pyramide et la hauteur la longueur minimum qui sépare le sommet de la base.


Niveau seconde:
I]Triangles semblables et isométriques.
1]Triangles semblables.

Deux triangles dont les côtés sont proportionnels sont dits semblables.
également, deux triangles ayant au moins deux angles égaux sont dits semblables.

2]Triangles isométriques.

Deux triangles ayant au moins deux angles égaux, et dont les côtés sont égaux sont dits isométriques.

[A compléter]